浮点数（IEEE 754）
浮点格式只能保存一组离散值。若输入不在其中，就按舍入规则选取可表示值。字中有符号、指数、尾数字段；对正规数，按 ±1.f×2ᵉ 读回。IEEE 754 规定格式与舍入方式，本课采用默认的就近舍入、平局取偶。
可表示值像间距变化的刻度。正规数的指数越大，相邻刻度越远，指数增加 1，间距翻倍。非正规数区域则使用固定间距。本课 binary16 分配 1+5+10 位；binary32 为 1+8+23，binary64 为 1+11+52。更多尾数位提供更细的相对精度，更多指数位扩展范围，但有限位宽仍只保存有限个刻度。
浮点数如何工作
对非零有限值，先按符号、介于 1 与 2 之间的有效数、2 的幂来分解。例如 0.1=1.6×2⁻⁴，4096=1.0×2¹²。是否能作为正规数保存，还取决于格式范围。
符号位保存正负。这里可以单独存符号，因为浮点加法本来就需要对阶等处理，不能直接套用普通整数加法器。
指数字段保存 e+bias。binary16 的 bias=15，所以 −4 存为 11。偏置让指数字段保持无符号并随实际指数递增。对非负、非 NaN 的编码，按无符号整数比较原始位模式可保持数值顺序；不能把这个性质扩展到任意带符号模式。
尾数字段只存前导 1. 后面的位。正规数必有这个 1，无须占一位，所以十个存储位得到十一位有效精度。零不符合 1.f×2ᵉ，全零指数因此另作零与非正规数编码。
binary16 的十位 fraction 给 [1,2) 内 1024 个刻度。乘 2ᵉ 后，正规数当前指数区间的一个 ulp（最低有效位单位）为 2^(e−10)。0.1 附近是 2⁻¹⁴≈0.000061，4096 起的区间是 4。绝对误差尺度随数值大小变化。
就近舍入选更近的值；恰在中点时，选有效数最低位为偶数的一侧。有限范围内的相邻刻度舍入误差不超过半个间距。取偶避免每次中点都向同一方向偏移，但不保证任意数据的误差必然相消。
逐步演示
默认把 0.1 编码为 binary16：
- 建立十六个位置，分为三个字段。没有独立小数点位，小数点位置由指数解释。
- 正数的符号位 15 写
0。 - 分解为
1.6×2⁻⁴，指数 e=−4。 - 1.6 的二进制是
1.1001100110011…，1001无限重复。1/10 的约分分母含因子 5，因此不是有限二进制小数，增加有限位数也不能精确表示。 - 指数加偏置：−4+15=11，写
01011。 - 保存前十个 fraction 位
1001100110，后续011001…位于保留边界之外。 - 舍弃尾部约为一个间距的 0.4，小于一半，不向上舍入。
- 读回
(1+614/1024)×2⁻⁴=0.0999755859375。 - 在
[0.0625,0.125)内间距为2⁻¹⁴；到下个指数区间翻倍为约 0.00012。同宽数轴区间只能容纳一半刻度。 - 相对输入的有符号误差约为
−2.4×10⁻⁵，即 −0.4 个间距。该刻度附近半步内的一段输入，约 0.09995–0.10001，会舍入到相同十六位；精确边界还要按平局规则处理。
有效数工作区位于编码字上方，竖线左边保留、右边舍弃。下行是实际编码，刻度条显示 0.1 处于两个可表示值之间。三个字段确定后编码已经结束，读回是解释字段，不是额外编码。理想编码推导中，只有最终舍入丢失信息，其余是表示转换。
为什么 0.1+0.2 不一定等于 0.3
add 变体默认在 binary16 中计算。两个操作数先各自舍入：0.1 为 0.0999755859375，0.2 为 0.199951171875。指数相差一，较小有效数右移一列对齐，本例这次对阶未丢失信息。
有效数相加得到 10.0110011001×2⁻³，超出正规有效数的 [1,2)，右移一位并增大指数，成为 1.0011001100|1×2⁻²。边界外那一位恰为半步，平局取偶保留 …1100，不进到 …1101。结果是 0.2998046875。
直接把 0.3 存成 binary16 却得到 0.300048828125，比和高一个刻度，因此比较为假。这是输入舍入与结果舍入共同决定的结果。
Same sum, binary32 将输入和每次运算都按 binary32 舍入，23 位 fraction 使比较变为真。常用 binary64 中比较又为假，Python 浮点与 JavaScript Number 的例子会得到 0.30000000000000004。不能只看十进制表达式推断相等，也不能把结果当随机：指定格式和运算规则后，结果确定。
其他预设展示同样的规则：
- Absorbed: 4096 + 1：binary16 从 4096 向上的间距为 4，1 仅四分之一步，舍入后仍为 4096，
a+b==a。 - Overflow: 65504 + 100：有限数之和超过 binary16 最大有限值并舍入到无穷。IEEE 754 设置 overflow、inexact 状态；非陷阱环境可继续运行，语言或库也可能报告、触发异常。
- Subnormal: 0.00004：指数域为 0，不再使用隐含前导 1，进入非正规数范围。间距固定，数值越小，相对精度越低。
边界情况
- 零：指数与 fraction 全零，符号位仍保留，所以有
-0.0。它与0.0比较相等，位模式不同。IEEE 非陷阱除法的1/0.0、1/-0.0是相反符号无穷；Python 浮点除零等语言操作可抛异常。 - 非正规数：binary16 最小正规数为
2⁻¹⁴，再向下固定有效指数，前导位变 0，最小正非零值为2⁻²⁴。以损失相对有效位换取渐进下溢。 - 无穷与 NaN：全一指数、零 fraction 表示无穷；非零 fraction 表示 NaN。有限数加无穷仍为该无穷。
inf-inf、inf*0、inf/inf得 NaN，NaN 不等于包括自身在内的任何值；inf+inf仍是 inf。 - 舍入可改变指数：2047.9 转成 binary16 时，进位越过 fraction 字段，指数增加，得到 2048。
- 部分小数精确：
0.375=0.011₂，没有误差。约分分母为 2 的幂时具有有限二进制展开，还需有效位和指数装得下；例如 0.5、0.25、2.75 在这些格式中都精确。
常见错误
- 无条件用
==比较计算结果。代数等价不保证舍入路径相同。需要近似比较时，可按问题选取abs(a - b) <= max(rel * max(abs(a), abs(b)), abs_tol)，兼顾相对与近零绝对误差。相等比较并非禁用；binary64 中绝对值不超过2⁵³的整数、未改变的同一存储值等可做精确比较。NaN 等特殊值另有规则。 - 认为更多位能精确存下 0.1。binary64 仍是有限二进制，只能减少或改变误差。
- 假定加法结合律成立。
(a+b)+c与a+(b+c)在不同位置舍入。累加大小悬殊的项时，小项可能被吞掉；调整求和顺序或补偿求和可减少误差，效果取决于数据。 - 用二进制浮点直接表达要求十进制精确的金额。分的分母是 100，通常需要整数最小单位或十进制类型，并按业务规则舍入。
- 把打印的小数当作精确存储值。常见最短往返格式会打印 0.1，但该字符串只是能还原同一浮点模式的表示。
- 忽略溢出检测。非陷阱加法可能得到无穷，应按需求预查范围或事后用 isfinite 检查结果；C 可通过
<fenv.h>访问状态，NumPy 有np.errstate，各语言和 API 对其他操作的异常行为不完全相同。
模型范围
画面使用 binary16 和 binary32，binary64 的 52 个 fraction 位不适合逐列展示。加法按较大指数对阶、相加、规格化，最后使用被舍弃尾部做一次舍入。真实硬件用 guard、round、sticky 位处理细节，融合乘加可在乘加两个运算后只舍入一次。
本课未展开减法与灾难性消减、NaN 传播细则、其他舍入模式、异常状态寄存器和 x87 的 80 位扩展寄存器。格式与平台规则是精确行为的依据，动画用于理解编码和舍入路径。