二进制补码

补码是计算机表示有符号整数的常用编码。n 位字的最高位权重从 +2ⁿ⁻¹ 改为 −2ⁿ⁻¹，因此八位范围是 −128 到 127。取负时逐位取反再加 1，减法便可转成加法。

补码让无符号加法器也能处理有符号模式，不必先按符号分支。相比把最高位单独当正负标记的原码，补码把符号纳入位值规则。加法器仍按列相加；数学结果能装入范围时，模式就是正确的有符号结果，否则要检测溢出。

最高位也是位值

无符号的 10110101 表示 128+32+16+4+1=181。补码只改变最高位权重，其他位置不变：第 6 位仍是 64，第 0 位仍是 1。

于是 11111100 表示 −128+64+32+16+8+4=−4。负数最高位都是 1，因为只有这一位能把总和拉到零以下。但它仍是参与求和的位值，不是可独立翻转的符号旗标。

对任意八位模式 x，逐位反转得到 ~x，两者每列恰好有一个 1，所以 x+~x=11111111，补码解释为 −1。在固定位宽的模运算下整理得到 ~x+1=−x。最小负数的数学相反数装不下，位模式会回到自身。

逐列加法只处理两个输入位和一个进位：写低位，把高位传给下一列。它不检查符号。超出最高列的进位被丢弃，留下模 2ⁿ 的低 n 位；有符号结果超范围则属于另一项溢出判断。

逐步演示

默认在八位中对 x = 4 取负，画布用三行展示原模式、反码和结果。

1. 建立八列，权重从左到右为 −128、64、32、16、8、4、2、1。没有另加的负号位置。
2. 写出绝对值 |x| = 00000100，只设置权重 4 的位置。
3. 每位取反，得到 11111011。各列独立翻转，这是反码，还不是 −4。
4. 加 1。末尾两个 1 依次清零、传递进位，第 2 位吸收进位，得到 11111100。若对 5 取负，反码 11111010 的最低位已经为 0，不会产生这段连续进位。
5. 先加正权重：第 6、5、4、3、2 位合计 64+32+16+8+4=124。若误按无符号解释整个字，会得到 252。
6. 计入最高位的 −128，得到 124−128=−4。
7. 完成。对 11111100 再取反加 1，又得到 4，验证取负运算。

当前构建行保持高亮，完成行作为参照淡化。列下方的正权重一起点亮，随后负的最高位权重加入，完成求和。

为什么一个加法器就够用

切到 add，默认计算 a = 5（00000101）与 b = −3（11111101）。普通串行进位加法器从第 0 位向上处理：

结果 00000010=2，符合 5+(−3)=2。没有执行另一套减法规则。最高位外的进位被丢弃，结果依然正确，所以丢弃进位本身不是错误。

有符号溢出检测：进入最高位的进位与离开最高位的进位不同。上例两者都是 1，无溢出。Overflow: 127 + 1 中进入进位为 1，输出进位为 0，数学和 128 装不进八位有符号范围，留下的 10000000 被解释为 −128。

动画显示溢出比较但不触发异常。硬件状态位与语言检查规则各异，不能把有符号溢出一律当成静默回绕。轨迹显式把中间结果限制在 n 位，以模拟固定字宽。寄存器保存低位，但语言语义仍须遵守：C 有符号溢出未定义，Rust 可能检查并 panic。

边界情况

• 范围不对称：八位有 −128，没有 +128。对 −128 的模式取反加 1，仍是 10000000。这不表示数学绝对值为负，而表示 +128 无法放入同一类型，不能假设 abs(INT_MIN) 总能返回有效正值。
• 零只有 00000000 一种编码。反码与原码有另一种“负零”，比较时需把两个零视为相等；补码省去这一区分。
• 输出进位不等于溢出：5+(−5) 有输出进位却正确得到 0；127+1 没有输出进位，却发生有符号溢出。
• 四位预设范围为 −8 到 7，7+1 留下 −8。规则不变，只是范围缩小。
• 负数右移要区分算术与逻辑右移。算术右移补符号位，逻辑右移补零；对非零右移量，后者可把负模式解释成非负值。实际操作由语言与类型决定。

常见错误

• 把最高位当独立符号标记。只翻最高位是原码式思路，不是补码取负；补码要全部取反再加 1。
• 停在反码。漏掉加 1，11111011 是 −5，而非 −4。
• 仅用输出进位判溢出，会误报 5+(−5)，漏报 127+1。应比较最高位的输入与输出进位。
• 假定语言保证有符号回绕。C、C++ 的有符号溢出是未定义行为，优化器可以假设它不发生，像 if (x + 1 < x) 这样的溢出检测可能被消除。
• 比较时混用有符号和无符号类型。常见平台上 int 与 size_t 比较会把有符号一方转成无符号，−1 成为大正数；精确转换取决于类型等级与表示范围，不能默认保留有符号顺序。