边缘检测
边缘检测寻找亮度变化明显的位置。Sobel 比较局部区域两侧的亮度，计算变化强度，再用阈值筛选。均匀区域即使很亮也会相消，噪声也可能产生响应。
把滤波器想成两侧放着像素的天平：相同亮度抵消，明暗交界使它倾斜。交换两侧，符号反转，幅度不变。因此必须先保留有符号导数，再算边缘强度。
Sobel 怎样计算
本课用 7×7 合成灰度图，亮度从 0 到 8，对内部每个像素读取 3×3 窗口：
Kx = -1 0 1 Ky = -1 -2 -1
-2 0 2 0 0 0
-1 0 1 1 2 1
逐元素相乘后加总。Kx 为加权右列减左列，中行权重加倍；Ky 为下行减上行，中列加倍。这也沿差分的垂直方向做了平滑。
Gx 测量从左到右的变化，对应垂直边界；Gy 测量从上到下的变化，对应水平边界。导数方向与边缘方向垂直。
强度为 M = √(Gx² + Gy²)，不是概率。负导数与同幅正导数贡献相同。保留规则为 M > 0 且 M >= threshold，所以阈值为零时也不保留平坦区域。
核不翻转，以滑动点积应用，数学上称互相关。行向下、列向右，未施加归一化因子，阈值单位就是未缩放响应。OpenCV 的 Sobel 说明给出相同核和欧氏幅度公式。
逐步演示
默认图像的七行都是：
0 0 0 8 8 8 8
阈值 16。坐标从零开始，只有源图行、列 1–5 能放下完整窗口，输出为 5×5。外圈被排除，不是默认为零。
- 中心
(3,1)：九个像素全零，Gx = Gy = M = 0，写到输出(2,0)。已计算的零与尚未计算不同。 - 移到
(3,2)：每行是[0,0,8]，与 Kx 的乘积如下，总和 32。Ky 上行贡献−8、下行+8，相消为零。因此M = √(32²+0²) = 32，写到(2,1)。
0 0 8
0 0 16
0 0 8
- 完成其余 23 个位置：各输出行均为
[0,32,32,0,0]。中心(3,2)与(3,3)的窗口行分别为[0,0,8]、[0,8,8]，都跨边界；Kx 中列为零，两侧差未变，均有Gx = 32、Gy = 0。更右侧虽亮，却因两侧相等输出零。 - 应用阈值 16：十个 32 通过，零失败，形成五行两列的响应带。阈值不会把它细化为单像素轮廓。
- 反转亮度
I → 8−I：(3,2)的 Gx 变−32，Gy 仍零，强度仍 32，全图掩码不变。因为每个核ΣK = 0，G(8−I) = 8ΣK − ΣKI = −G(I)，平方后幅度不变。 - 改成单个噪声点：只有
(3,3)亮度为 8。中心(2,2)的窗口中，它在右下角，两个核该处权重都是 1，所以Gx = Gy = 8，强度8√2 ≈ 11.3。只看|Gx|会低估为 8。 - 移到轴向邻居
(2,3)：亮点位于窗口下方中央，Kx 权重零、Ky 权重 2，因此Gx = 0、Gy = 16、M = 16。阈值 12 去掉四个对角响应，保留四个轴向响应。一个噪声点也能产生四处检测。 - 比较失败情况：弱边缘在阈值 16 和 4 分别保留零与十格，噪声在阈值 12 保留四格。面板标明这些是比较样例，最后返回所选输入和阈值。
阈值选择
比较阈值时保持图像不变。弱阶跃将亮部从 8 改为 2，响应从 32 降至 8；阈值 16 全删，4 保留十格。边界一直存在，是决策丢弃了它。
噪声例四个轴向邻居为 16，四个对角邻居为约 11.31，阈值 12 仍留下四格，却没有延展的物体轮廓。提高阈值可能去噪，也可能删掉想要的弱边。去噪、细化和连接判断各解决不同问题。
使用范围与单位
Sobel 适合计算便宜、可检查的局部方向或强度，作为图像处理基线或后续特征输入。若后续需方向，应保留 Gx、Gy。单独的掩码无法区分物体边界、阴影和纹理。
需要细边缘与连接判断时，可看 Canny 的额外阶段：降噪、非极大值抑制、双阈值滞后。Canny 仍需参数，也不认识物体；类别或语义边界需要识别或分割模型。
固定核时，亮度乘正数 a，Gx、Gy、M 和等效阈值都乘 a；两个核同乘 s，强度与等效阈值乘 |s|。常量亮度偏移在 valid 窗口中相消。
例如把本图 0..8 映射到 0..255，倍率为 255/8，响应 32 变 1020，阈值 16 变 510；映射到 0..1，则为响应 4、阈值 2。这只是同一图像的等效缩放，不是任意照片的推荐阈值。转字节时的舍入也会改变响应。
导数缓冲区应使用有符号或浮点类型，未缩放 Sobel 可超出输入字节范围。先固定预处理、核大小、核缩放、幅度定义和边界策略，再调阈值。OpenCV 参数文档列出 scale、输出深度和边界选项。若改核大小或把欧氏幅度换成 |Gx|+|Gy|，单一阈值换算未必保留所有判断。
时间与空间
固定 3×3 核每个内部像素做常量次运算，时间 O(HW)；存导数、强度、掩码用 O(HW)。核可分离为一维差分与垂直方向的 [1,2,1] 平滑，每个导数可用两次短滤波。反射、复制或 valid 裁剪需明确选择；去噪、细化、连接的成本另计。流式计算可减少工作行，动画还保存揭示快照以支持回拖。
边界情况
- 均匀亮度：全暗和全亮都为零，测量的是差异。
- 反向极性：同对比度的明暗交换只翻转符号。
- 水平边界：Gx 单独会漏掉，需 Gy。
- 等于阈值：非零且相等则保留，使用完整数值，不用舍入标签比较。
- 阈值极端：零仍排除
M = 0；48 会排除本课所有支持图案的响应，不是 Sobel 通用上限。 - 外圈：本例省略，其他实现的反射或复制会改变边界响应。
常见错误
- 先把负导数裁成零，再算幅度。反转图的
Gx = −32会因此消失；应先保留符号，再按定义平方或取绝对值。 - 各图分别按最大响应归一化颜色，使弱边与强边看起来相同。本课强度固定
0..48，输入亮度和输出强度有独立图例。 - 把掩码当物体识别。噪声、纹理、阴影都能触发亮度变化。CNN生成滤波响应，图像分类再对给定裁剪计算类别，这些是额外运算。
模型范围
本例用小型合成灰度图、固定未缩放 Sobel、valid 内部窗口和一个阈值，没有独立降噪、非极大值抑制、滞后或彩色处理。核自身的垂直方向平滑仍存在。输出可能宽且带噪，不等同完整 Canny 流程。